Transformations et groupe de Lorentz

Il est d’usage de dériver les transformations de Lorentz à partir du postulat d’invariance de la vitesse de la lumière et du principe de relativité. Il est possible de le faire de manière plus élégante encore, à l’aide d’un peu de théorie des groupes. C’est ce que nous allons voir aujourd’hui.

Introduction

A la base, nous avons la transformation de Galilée qu’on l’on peut représenter à partir de la matrice suivante

$$\begin{bmatrix} t' \\ x' \end{bmatrix} = T_v \begin{bmatrix} t \\ x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ v & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t \\ x \end{bmatrix}$$

On voit facilement qu’il s’agit d’un groupe, avec l’existence d’un élément neutre, tel que $(t', x')$ = $T_0(t, x)$, l’inversibilité de chaque élément $T_v^+T_v^- = T_0$ et plus généralement la propriété $T_vT_w = T_{v+w}$ garantissant l’associabilité.

On s’interrogera alors sur l’existence d’ensembles de matrices plus générales conservant la structure de groupe.

$$\begin{bmatrix} t' \\ x' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a(v) & b(v) \\ c(v) & d(v) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t \\ x \end{bmatrix}$$

Et on aboutira ainsi naturellement aux transformations de Lorentz.

Dérivation des transformations

Pour les dériver, on part comme pour celles de Galilée, de référentiels en configuration standard, coïncidant à l’origine et en déplacement inertiel relatif. On peut toujours orienter les axes de nos repères de manière à ce que le déplacement se fasse sur l’axe $x$.

On aura alors $(t, x)$ les coordonnées du référentiel en mouvement, et $x$ dépendant de $v$ et de $t$. De même $x'$ sera égal à $0$ ne se considérant pas en mouvement par rapport à lui même, et on pourra écrire

$$\begin{bmatrix} t' \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma & \delta \\ \beta & \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t \\ vt \end{bmatrix}$$

De cela on voit que $0 = \beta t + \alpha vt$ et donc $\beta= -v\alpha$

Considérons maintenant le point de vue du référentiel en mouvement sur le premier

$$\begin{bmatrix} t' \\ -vt' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma & \delta \\ \beta & \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t \\ 0 \end{bmatrix}$$

De cela on voit que $-vt' = \beta t = -v\gamma t$ et donc $\beta = -v\gamma$. On en déduit $\alpha = -v\beta$, $\gamma = -v\beta$ et donc $\alpha = \gamma$, ce qui nous permet d’écrire

$$\begin{bmatrix} t' \\ x' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma & \delta \\ -v\gamma & \gamma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t \\ x \end{bmatrix}$$

A partir du postulat d’inversibilité, on peut écrire la transformation inverse de deux manières. Soit en calculant $T^-$

$$\begin{bmatrix} t \\ x \end{bmatrix} = \frac{1}{\gamma^2 + v\delta\gamma} \begin{bmatrix} \gamma & -\delta \\ v\gamma & \gamma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t' \\ x' \end{bmatrix}$$

Pour rappel de calcul matriciel

$$T^- = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^- = \frac{1}{ad -bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$

Soit en remplaçant $v$ par $-v$

$$\begin{bmatrix} t \\ x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma(-v) & \delta(-v) \\ v\gamma(-v) & \gamma(-v) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t' \\ x' \end{bmatrix}$$

Or $\gamma$ d’ou découle les effets relativistes ne peut pas dépendre de la direction de $v$, en conséquence de quoi $\gamma(-v) = \gamma(v)$ et $\gamma^2 + v\delta\gamma$ doit être égal à $1$.

Enfin, on peut composer deux matrices, de sorte que l’on ait

$$\begin{bmatrix} t'' \\ x'' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma(v') & \delta(v') \\ -v'\gamma(v') & \gamma(v') \end{bmatrix}  \begin{bmatrix} \gamma(v) & \delta(v) \\ -v\gamma(v) & \gamma(v) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t \\ x \end{bmatrix}$$

Et donc

$$\begin{bmatrix} t'' \\ x'' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma(v')\gamma(v) - v\delta(v')\gamma(v) & \gamma(v')\delta(v) + \delta(v')\gamma(v) \\ -(v' + v)\gamma(v')\gamma(v) & -v'\gamma(v')\delta(v) + \gamma(v')\gamma(v) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t \\ x \end{bmatrix}$$

Les éléments diagonaux devant être égaux, on a l’égalité $\gamma(v')\gamma(v) - v\delta(v')\gamma(v) = -v'\gamma(v')\delta(v) + \gamma(v')\gamma(v)$ et donc $v\delta(v')\gamma(v) = v'\gamma(v')\delta(v)$ et enfin $\frac{\delta(v)}{v\gamma(v)} = \frac{\delta(v')}{v'\gamma(v')}$.

Avec $v = 0$ nous devons retrouver la matrice identité. Pour $v$ différent de $0$, on peut définir une constante $\kappa$ égale à $\delta(v)/v\gamma(v)$ qui a pour dimension $1/v^2$. Nous pouvons dès lors résoudre

$1 = \gamma^2 + v\delta\gamma = \gamma^2 (1 + \kappa v^2)$

On peut finalement déduire $\gamma = 1/\sqrt{1 + \kappa v^2}$, ce qui nous amène à la matrice de transformation

$$\begin{bmatrix} t' \\ x' \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{1 + \kappa v^2}} \begin{bmatrix} 1 & \kappa v \\ -v & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t \\ x \end{bmatrix}$$

Pour $\kappa = 0$ on a la transformation de Galilée vue au dessus. Pour $\kappa < 0$, avec $c = 1\sqrt{-\kappa}$ on a celle de Lorentz

$$\begin{bmatrix} t' \\ x' \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \begin{bmatrix} 1 & \frac{-v}{c^2} \\ -v & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t \\ x \end{bmatrix}$$

On peut enfin rendre ces transformations plus homogènes en les exprimant dans les mêmes dimensions. Si on remplace $t$ par $ct$, $v/c$ par $\beta$ et qu’on note $\gamma$ la valeur $1/\sqrt{1 - \beta^2}$ on peut écrire

$$\begin{bmatrix} ct' \\ x' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma & -\beta\gamma \\ -\beta\gamma & \gamma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ct \\ x \end{bmatrix}$$

Nous venons ainsi de retrouver les transformations de Lorentz de la relativité restreinte.

Conclusion

Il s’agissait cette fois d’un article un peu technique, très largement inspiré de la page Wikipédia en anglais consacrée aux différentes dérivations de ces transformations.

Dans le chapitre consacré à la relativité restreinte du livre Mécaniques - des fragments d’espace-temps nous les dérivons de manière plus classique, plus simple, mais sans doute un peu moins élégante.

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